Enunciado

(Continuação da Seção 10.7, Exercício 55.) Suponha que f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

converge para todo x em um intervalo aberto (-R, R). Mostre que

  1. Se f é par, então a 1   =   a 3   =   a 5   =   ∙ ∙ ∙   =   0 , isto é, a série de Taylor
  2. para f em x = 0 contém somente potências pares de x.

  3. Se f é ímpar, então a 0   =   a 2   =   a 4   =   ∙ ∙ ∙   =   0 , isto é, a série de Taylor

para f em x = 0 contém somente potências ímpares de x

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

  1. Se f ( x ) é par, logo qualquer ímpar no modo derivativo é ímpar e igual a x = 0 . Portanto a 1 = a 3 = a 5 = … = 0 ; E por sua vez, isso é a Série de Maclaurin para f contendo apenas potências pares.
  2. Passo 2

  3. Se f ( x ) é ímpar, logo qualquer par no modo derivativo é par e igual a x = 0 . Portanto a 0 = a 2 = a 4 = … = 0 ; E por sua vez, isso é a Série de Maclaurin para f contendo apenas potências ímpares.

Resposta

  1. Se f é par, então a 1   =   a 3   =   a 5   =   ∙ ∙ ∙   =   0 , isto é, a série de Taylor
  2. para f em x = 0 contém somente potências pares de x.

  3. Se f é ímpar, então a 0   =   a 2   =   a 4   =   ∙ ∙ ∙   =   0 , isto é, a série de Taylor

para f em x = 0 contém somente potências ímpares de x

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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