Enunciado

Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 29-34.

s e n   ( t g - 1 x )

Passo 1

Fala pessoal! Tudo bom? Então vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

As séries que conhecemos que são passíveis de usarmos nesse caso são as seguintes:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

E também usaremos a seguinte:

t g - 1 x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + …

Passo 2

Obedecendo às propriedades trigonométricas, podemos calcular os quatro primeiros termos da nossa série da seguinte forma:

s e n   t g - 1 x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … - 1 6 x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … 3 + 1 20 x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … 5 - 1 5040 x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … 7 + …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos que:

s e n   t g - 1 x = x - 1 2 x 3 + 3 8 x 5 - 5 16 x 7 + …

Resposta

s e n   t g - 1 x = x - 1 2 x 3 + 3 8 x 5 - 5 16 x 7 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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