Enunciado

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

t g - 1 ( 3 x 4 )  

Passo 1

Fala pessoaaal, tudo tranquilinho? Então vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor!

O primeiro ponto que devemos tratar é escrever os termos da série conhecida que é trazida no enunciado.

O que nos é facilitado porque assim como o enunciado disse, deriva de uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos na literatura:

t g - 1 x = x - x 3 3 + x 5 5 - …

E assim vai... Podemos então escrever a função da série acima como:

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

t g - 1 3 x 4   = 3 x 4 - 9 x 12 + 243 5 x 20 - 2187 7 x 28 + …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

t g - 1 ( 3 x 4 )   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 3 x 4 ) 2 n + 1 2 n + 1

Simplificando matematicamente, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 x 8 n + 4 n

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 x 8 n + 4 n   = 3 x 4 - 9 x 12 + 243 5 x 20 - 2187 7 x 28 + …

Massa né?! Até a próxima questão, galera!

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