Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 0 ∞ n 3 x - 5 n

Passo 1

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = n + 1 3 x - 5 n + 1 n 3 x - 5 n = 1 + 1 n 3 ⋅ x - 5

Agora,

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 3 ⋅ x - 5 = x - 5 < 1

Portanto, a série será convergente se 4 < x < 6 . Consequentemente, o raio de convergência é 1.

Passo 2

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = 4 e x = 6 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = 4 , temos a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n n 3

Uma série alternada! Como lim n → ∞ ⁡ n 3 = ∞ ≠ 0 , então, pelo teste das séries alternadas, esta série não é convergente!

Já quando x = 6 , temos:

∑ n = 0 ∞ n 3

E, como lim n → ∞ ⁡ n = ∞ ≠ 0 , então, a série não converge para x = 6 ! Logo, o intervalo de convergência é:

4 < x < 6

Resposta

Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é 4 < x < 6

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