Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n n 2 n

Passo 1

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = - 1 n + 1 x + 2 n + 1 n + 1 2 n + 1 ⋅ n 2 n - 1 n x + 2 n = x + 2 1 + 1 n ⋅ 2

Agora,

lim n → ∞ ⁡ x + 2 1 + 1 n ⋅ 2 = x + 2 2 < 1

Portanto, a série será convergente se - 4 < x < 0 . Consequentemente, o raio de convergência é 2.

Passo 2

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = - 4 e x = 0 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = - 4 , temos a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Como esta série não converge, a série da questão não converge quando x = - 4 .

Já quando x = 0 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Já esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a b n + 1 ≤ b n e que lim n → ∞ ⁡ b n = 0 . Portanto, a série converge para x = 0 ! Logo, o intervalo de convergência é:

- 4 < x ≤ 0

Resposta

Raio de convergência é 2. O intervalo de convergência é - 4 < x ≤ 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! 2 2 n 2 n ! x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ n n x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ ( 3 x + 1 ) n + 1 2 n + 2
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n * x + 1 n - 1
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 4 n x 2 n n