Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(n = 1)^(oo) (cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n)

Passo 1

Para testarmos a convergência desta série, precisaremos realizar algumas operações com ela. Primeiramente, vamos lembrar que:

- 1 <= cos ((n)/(2)) <= 1

Isto decorre do fato que a função cosseno é uma função limitada. Portanto, temos que:

(cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n) <= (1)/(n^2 + 4 n)

Além disto, sabemos que:

(1)/(n^2 + 4 n) <= (1)/(n^2)

Como a série sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2) é uma série convergente, pois temos uma p-série em que p = 2 , temos, a partir do teste da comparação, que sum_(n = 1)^(oo) (cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n) também é uma série convergente, pois:

(cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n) <= (1)/(n^2)

Resposta

A série é convergente.

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