Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n

Passo 1

Inicialmente, observem que a nossa série pode ser reescrita da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n = ∑ n = 1 ∞ 2 n ! 2 n - 1 ! ⋅ x n

Reescrevemos então a nossa série a partir de fatoriais!

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = 2 n + 2 ! ⋅ x n + 1 2 n + 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 2 n ! ⋅ x n = 2 n + 2 ⋅ 2 n ! ⋅ x 2 n + 1 ⋅ 2 n - 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 2 n !

2 n + 2 ⋅ x 2 n + 1

Agora,

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 ⋅ x 2 n + 1 = x < 1

Portanto, a série será convergente se - 1 < x < 1 . Consequentemente, o raio de convergência é 1.

Passo 2

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = - 1 e x = 1 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = - 1 , temos a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! 2 n - 1 !

Esta série diverge. Portanto, não há convergência quando x = - 1

Já quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 2 n ! 2 n - 1 !

Novamente, esta série é divergente. Portanto, o intervalo de convergência da nossa série é.

- 1 < x < 1

Resposta

Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é - 1 < x < 1 .

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