Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 28
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Inicialmente, observem que a nossa série pode ser reescrita da seguinte forma:
Reescrevemos então a nossa série a partir de fatoriais!
Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:
Então a série é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:
Agora,
Portanto, a série será convergente se . Consequentemente, o raio de convergência é 1.
Passo 2
Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando e , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando , temos a seguinte série:
Esta série diverge. Portanto, não há convergência quando
Já quando , temos:
Novamente, esta série é divergente. Portanto, o intervalo de convergência da nossa série é.
Resposta
Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é .