Enunciado

Calcule a integral iterada.

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ z   ⋅ d V , onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0) e (0,1,1).

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção para o cálculo de integral tripla

∫ ∫ ∫ ε f x , y , z ⋅ d V

Passo 2

Vamos começar calculando quais são os intervalos de integração. Considerando inicialmente z = 0 podemos encontrar a reta em x y . Temos que para os pontos (0,0,0) e (1,0,0), encontrarmos a seguinte equação:

y = x

Agora temos que encontrar para o z . Sabemos que vamos integrar do plano x y com altura z = 0 até uma outra altura z , assim temos que o plano será do tipo

a ⋅ z = y - x

Onde a é uma constante que precisamos encontrar. Considerando agora o ponto (0,1,1), encontramos que a será

a = y - x z = 1

Substituindo em z , chegamos que nosso plano será

z = y - x

Assim, nossos intervalos de integração serão

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ z ≤ y - x

Assim, calculando então a integral

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ z   ⋅ d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 y - x x ⋅ z ⋅ d z ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 x x ⋅ 1 2 ⋅ y - x 2 ⋅ d y ⋅ d x =

= 1 2 ⋅ ∫ 0 1 ∫ 0 x x ⋅ y 2 + x 3 - 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x =

∫ 0 1 1 3 ⋅ x ⋅ y 3 + x 3 ⋅ y - x ⋅ y 2 0 x ⋅ d x = 1 2 ⋅ ∫ 0 1 1 3 ⋅ x 4 + x 4 - x 3 ⋅ d x =

= 1 2 ⋅ ∫ 0 1 4 3 ⋅ x 4 - x 3 ⋅ d x = 1 2 ⋅ 4 15 ⋅ x 5 - 1 4 ⋅ x 4 0 1 = 4 30 - 1 8 = 32 - 30 240 = 1 120

Resposta

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ z   ⋅ d V = 1 120

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