Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 0 ∞ n x - 1 n

Passo 1

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = n + 1 x - 1 n + 1 n x - 1 n = 1 + 1 n ⋅ x - 1

Agora,

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n ⋅ x - 1 = x - 1 < 1

Portanto, a série será convergente se 0 < x < 2 . Consequentemente, o raio de convergência é 1.

Passo 2

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = 0 e x = 2 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = 0 , temos a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n n

Uma série alternada! Como lim n → ∞ ⁡ n = ∞ ≠ 0 , então, pelo teste das séries alternadas, esta série não é convergente!

Já quando x = 2 , temos:

∑ n = 0 ∞ n

E, como lim n → ∞ ⁡ n = ∞ ≠ 0 , então, a série não converge para x = 2 ! Logo, o intervalo de convergência é:

0 < x < 2

Resposta

Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é 0 < x < 2

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