Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 4
Teste a convergência ou divergência das séries.
4-
Passo 1
O teste da série alternada é um pouco mais enjoada que as demais, nela temos que testar três coisas.
-A série tem que ser monotonamente decrescente, ou seja a derivada da função (sem o sinal de alternância) tem que ser negativa.
- O teste da divergência da função sem a alternância tem que dar zero.
Passo 2
Vamos fazer a derivada da função abaixo no domínio :
Que é a mesma função só que sem a condição de alternância .
Pela regra do quociente temos:
O numerador é decrescente com números maiores que tal como pode se ver pelo gráfico abaixo.
E isso é válido, o que não pode é ela ser positiva para todo maior que zero. Logo ela passa no teste sim.
Passo 3
Agora aplicando o teste da divergência temos:
Dividindo o numerador e o denominador por nós temos:
Esse teste também dá verdadeiro, logo a sequência alternada é convergente.
Resposta
Série convergente pelo teste da série alternada.