Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

4-

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 n 2 + n

Passo 1

O teste da série alternada é um pouco mais enjoada que as demais, nela temos que testar três coisas.

-A série tem que ser monotonamente decrescente, ou seja a derivada da função (sem o sinal de alternância) tem que ser negativa.

- O teste da divergência da função sem a alternância tem que dar zero.

Passo 2

Vamos fazer a derivada da função abaixo no domínio x :

d d x x - 1 x 2 + n

Que é a mesma função só que sem a condição de alternância - 1 n - 1 .

Pela regra do quociente temos:

d d x a n = x - 1 ' x 2 + x - ( x - 1 ) ( x 2 + x ) x 2 + x 2 = 1 x 2 + x - ( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) x 2 + x 2

d d x a n = x 2 + x - ( 2 x 2 - x - 1 ) x 2 + x 2 = - x 2 + 2 x + 1 x 2 + x 2

O numerador é decrescente com números maiores que 3 tal como pode se ver pelo gráfico abaixo.

E isso é válido, o que não pode é ela ser positiva para todo x maior que zero. Logo ela passa no teste sim.

Passo 3

Agora aplicando o teste da divergência temos:

lim n → ∞ ⁡ n - 1 n 2 + n

Dividindo o numerador e o denominador por n 2 nós temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n - 1 n 2 1 + 1 n = 0

Esse teste também dá verdadeiro, logo a sequência alternada é convergente.

Resposta

Série convergente pelo teste da série alternada.

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