Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ 3 x - 2 n n 3 n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 x - 2 n + 1 n + 1 3 n + 1 3 x - 2 n n 3 n = lim n → ∞ ⁡ ( 3 x - 2 ) n ∙ ( 3 x - 2 ) n + 1 ∙ 3 n ∙ 3 ∙ n ∙ 3 n 3 x - 2 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( 3 x - 2 ) n ∙ ( 3 x - 2 ) n + 1 ∙ 3 n ∙ 3 ∙ n ∙ 3 n 3 x - 2 n = 3 x - 2 3 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = 3 x - 2 3

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 3 x - 2 3 < 1 , ou seja, para 3 x - 2 < 3 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 3 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que 3 x - 2 < 3 , ou seja, - 3 < 3 x - 2 < 3 ↔ - 1 3 < x < 5 3 ....Portanto, convergirá para o intervalo - 1 3 , 5 3 em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 3 e x = 5 3 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = 5 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 n , uma série harmônica, e, portanto, divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 1 3 , 5 3 .

Resposta

R = 3   e   I = - 1 3 , 5 3

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Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! 3 * 6 * 9 * … * 3 n x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ x n n ( ln ⁡ n ) 2