Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = x 2 x 2 + 1

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função assim:

f x = x 1 - - 2 x 2

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo x e razão - 2 x 2 , ou seja:

f x = x - 2 x 3 + 4 x 5 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x - 2 x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x 2 n + 1

Passo 2

Show! Como a razão da série geométrica é - 2 x 2   , temos que ter, pra série convergir:

- 2 x 2 < 1

2 x 2 < 1

x 2 < 1 2

- 1 2 < x < 1 2

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 2 , 1 2 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x 2 n + 1

  - 1 2 , 1 2

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