Enunciado

Suponha que você saiba que a série ∑ n = 0 ∞ b n x n converge para x < 2 . O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por que?

∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1

Passo 1

Bom, galera. Se a gente integrar a primeira série, vamos chegar exatamente à outra série, dá uma olhada:

∫ ∑ n = 0 ∞ b n x n d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ b n x n d x = ∑ n = 0 ∞ b n ∫ x n d x = ∑ n = 0 ∞ b n   x n + 1 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1

Então, elas têm o mesmo raio de convergência, ou seja, ∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1 converge para x < 2 .

Resposta

Série convergente quando x < 2

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