Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 + x 1 - x

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função assim:

f x = 1 1 - x + x 1 - x

Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: uma com primeiro termo 1 e razão x , e a outra com primeiro termo x e razão x , ou seja:

f x = 1 + x + x 2 + … + ( x + x 2 + x 3 + … )

f x = 1 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 x n

Passo 2

Como a razão de ambas as séries geométricas iniciais é x , temos que ter:

x < 1

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 ,   1 .

Resposta

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 x n

( - 1 ,   1 )

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