Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

4 y ' ' + 17 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

4 x 2 + 17 x + 4 = 0

Sendo: a = 4 ,   b = 17 ,   c = 4 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 17 ± 17 2 - 4 . 4.4 2 . 4

x = - 17 ± 289 - 64 2.4

x = - 17 ± 225 8

x = - 17 ± 15 8

x ' = - 17 + 15 8 = - 2 8 = - 1 4 ,     x ' ' = - 17 - 15 8 = - 32 8 = - 4

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e - 1 4 t + C 2 e - 4 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e - t 4 + C 2 e - 4 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Mostre que y = sen t é uma solução de para qualquer valor da constante k. Se 0 0 e k sen²t ≥ 0.Observe então que, embora os coeficientes dessa equação diferencial com coeficientes variáveis sejam não
Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.
Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.
A equação diferencial aparece no estudo da turbulência em um fluxo uniforme ao passar por um cilindro circular.Verifique se y1(x) = exp(–δx²/2) é uma solução e depois encontre a solução geral na forma