Enunciado

7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = y z , x z , x y + 1 nos seguintes deslocamentos:

(a) ao longo da elipse x 2 + y 2 4 = 9 , no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) a B(0,6)

Passo 1

Como ele já nos diz que é conservativa,

vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = y z                 1

∂ u ∂ y = x z                 2

∂ u ∂ z = x y + 1                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ y z   d x

u = x y z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = x z + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = x y z + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x y + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 1

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x y z + z + C

Por final, temos

∫ C f → ⋅ d r →   = u 0,6 , z - u 3 , 0 , z

= ( 0 × 6 × z + 0 + C ) - ( 3 × 0 × z + z + C )

= 0 + z + C - 0 - z - C

= 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se o campo dado é irrotacional.e) f → x , y , z = x 2 , y 2 , z 2
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.b) f x , y = 2 x 2 - y 2 + y + 10
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.a) f x , y , z = z x + ln ⁡ x y
Verificar se o campo dado é irrotacional.d) f → x , y , z = 2 x + cos ⁡ y z , - x z sen ⁡ y z , - x y sen ⁡ y z
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.g) f x , y = e x cos ⁡ y