Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão.

(a) tan (sec^(- 1) (4))

Passo 1

O problema pede pra a gente encontrar o valor EXATO (sem pressão rs) da expressão tan (sec^(- 1) (4)) . Antes de tudo, tenhamos em mente que sec^(- 1) (x) , é a função que fornece o arco no intervalo [0 , pi] cujo valor da secante é x .

sec theta = (1)/(cos theta) = 4

Além disso, vamos lembrar que a secante de um ângulo agudo em um triângulo retângulo nada mais é do que a razão da hipotenusa pelo cateto adjacente.Dessa forma, pra resolver a questão bem rápido, podemos pensar nela através de um triângulo retângulo onde a hipotenusa vale 4 e um dos catetos vale 1 :

Assim, nesse triângulo sabemos que sec (theta) = 4 , dessa forma theta = sec^(- 1) (4) , e aí substituímos na expressão e ficamos com:

tan (sec^(- 1) (4)) = tan (theta)

Passo 2

Agora é só fazermos um simples pitágoras:

tan (theta) = (a)/(1) = (sqrt(4^2 - 1^2))/(1) = sqrt(15)

Resposta

sqrt(15)

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