Se F(x) = f(x \* f(x \* f(x))) , onde f(0) = 0 e f'(0) = 2 , encontre F'(0) .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo na paz?

Dada F ( x ) = f x   f x   f x com f 0 = 0 e f ' ( 0 ) = 2 , encontre F ' ( 0 ) .

Como vamos resolver isso?

Vamos usar a regra da cadeia para derivar a composição externa f ⋅ .Depois aplicamos regra do produto e cadeia para a função interior u x = x   f x f x .Por fim avaliamos tudo em x = 0 e usamos f 0 = 0 e f ' 0 = 2 .

Lembrando que:

  • Regra da cadeia: se F ( x ) = f ( u ( x ) ) então
  • F ' ( x ) = f ' u x ⋅ u ' x

  • Regra do produto:
  • d d x p x q x = p ' x q x + p x q ' x

  • Para avaliar derivadas em x = 0 basta substituir x = 0 nas expressões resultantes e usar os dados f 0 e f ' 0 .

Bora lá!

Passo 2

Temos F x = f u x onde definimos, para simplificar a escrita,

u x = x    f x   f x

Pela regra da cadeia, a derivada que queremos é

F ' x = f ' u x ⋅ u ' x

Portanto, para obter F ' 0 precisamos de u 0 e u ' 0 . Observamos que f 0 = 0 , então primeiro calculamos u 0 :

u 0 = 0 ⋅ f 0 ⋅ f 0 = 0 ⋅ f 0

u 0 = 0

Logo u 0 = 0 e assim f ' u 0 = f ' 0 = 2 .

Agora vamos achar u ' x . Aplicamos a regra do produto em u x = x ⋅ w x com w x = f x f x .

Assim

u ' x = 1 ⋅ w x + x ⋅ w ' x

u ' x = w ( x ) + x   w ' ( x )

Precisamos de u ' 0 = w ( 0 ) + 0 ⋅ w ' 0 = w ( 0 ) . Então basta calcular w 0 .

Mas w ( x ) = f x f x , ou seja

w ( 0 ) = f ( 0 ⋅ f ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 0

Portanto u ' ( 0 ) = 0 .

Juntando tudo na fórmula de F ' , obtemos em x = 0

F ' 0 = f ' u 0 ⋅ u ' 0 = f ' 0 ⋅ 0

F ' 0 = 2 ⋅ 0

F ' ( 0 ) = 0

Fim! Sacou como faz? Responde Aí!

Resposta

F ' ( 0 ) = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados