Enunciado

Se c > 1 2 , quantas retas pelo ponto ( 0 , c ) são normais à parábola y = x 4 ? E se c ≤ 1 2 ?

Passo 1

Oiee, bora resolver essa comigo?

Para encontrar o número de retas que passam pelo ponto ( 0 ,   c ) e são normais à parábola y = x 4 primeiro devemos entender o que significa uma reta ser normal a uma curva.

Uma reta é normal a uma curva em um ponto se sua inclinação (ou derivada) é o negativo do inverso da inclinação (ou derivada) da tangente à curva nesse ponto.

Dado que a inclinação da tangente à curva y = x 4 no ponto ( x ,   x 4 )   é   (   4 x 3 \ ) , a inclinação da reta normal nesse ponto será - 1 / 4 x 3 .

Portanto, para que uma reta passe pelo ponto ( 0 , c ) e seja normal à parábola y = x 4 sua inclinação deve ser - 1 / 4 x 3 quando passar pelo ponto ( 0 , c ) .

Passo 2

A inclinação de uma reta que passa pelos pontos ( 0 ,   c )   e   ( x ,   x 4 ) é dada por

x 4 - c x - 0

que simplifica x 4 - c

Então, para que a reta seja normal à parábola, temos:

x 4 - c = - 1 4 x 3

Passo 3

Resolvendo essa equação para x , obteremos os valores de x onde a reta é normal à parábola.

Se c > 1 2 então c - 1 2 > 0 .

Substituindo c - 1 2 por   ϵ , temos:

x 4 - 1 2 + ϵ = - 1 4 x 3

Sendo   ϵ > 0 , a equação tem três raízes distintas. Portanto, existem três retas que passam pelo ponto ( 0 , c ) e são normais à parábola y = x 4 quando c > 1 / 2 .

Se   c ≤ 1 / 2 , então c   - 1 2 ≤   0 .

Passo 4

Nesse caso, não há raízes para x que satisfaçam a equação

  x 4   - 1 2   + ϵ   =   - 1 4 x 3

com   ϵ   >   0 .

Portanto, não existem retas que passam pelo ponto ( 0 , c ) e são normais à parábola y = x 4     quando c ≤ 1 / 2 .

Resposta

Portanto, não existem retas que passam pelo ponto ( 0 , c ) e são normais à parábola y = x 4     quando c ≤ 1 / 2 .

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