Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f t = t + cot ⁡ t 2 ,     π 4 , 7 π 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui necessitamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dada no intervalo dado.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Os pontos críticos de f ( t ) são os valores de t nos quais f ' ( t ) não existe, ou, se existir, é igual a zero.

Então

f ' x = 1 - csc 2 ⁡ t 2 2

Igualando a zero, ficamos com

1 - csc 2 ⁡ t 2 2 = 0

csc 2 ⁡ t 2 2 = 1

csc ⁡ t 2 = 2

t = n π 4 ,   o n d e   n   é   u m   n ú m e r o   i m p a r

Passo 3

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f π 4 ,   f π 2 ,   f 3 π 2   e   f 7 π 4 . Então

f π 4 ≈ 3,2

f π 2 ≈ 2,571

f 3 π 2 ≈ 3,712

f 7 π 4 ≈ 3,084

Com isso, podemos ver que   f 3 π 2 ≈ 3,712 é um ponto de máximo absoluto pois é o maior valor encontrado dentro do intervalo e   f π 2 ≈ 2,571 é um ponto de mínimo absoluto pois é o menor valor encontrado dentro do intervalo dado.

Resposta

f 3 π 2 ≈ 3,712 é um ponto de máximo absoluto e   f π 2 ≈ 2,571 é um ponto de mínimo absoluto.

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Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pont
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