Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 26
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um retângulo inscrito dentro de uma elipse e pediu pra gente encontrar a maior área possível desse retângulo.
O que ta acontecendo é isso daqui:
Nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Se chamarmos a base de e a altura de , teremos:
E nós queremos que essa área seja máxima. Então, o que nós vamos fazer é isolar uma das variáveis na equação da elipse e substituir na equação de área do retângulo. Depois, vamos encontrar os pontos de máximo dessa função, derivando e igualando a zero para obter os pontos críticos e avaliando eles dentro da função.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar isolando na equação da elipse:
Resolvendo dentro da raiz:
E simplificando os quadrados:
Passo 3
Agora vamos substituir na equação de área do retângulo:
Para encontrarmos os pontos críticos dessa função, vamos derivar em relação a , usando a regra do produto junto com a regra da cadeia:
Tirando o MMC:
Aplicando a distributiva e simplificando o numerador:
Passo 4
Então, igualando essa derivada a zero, ficamos com:
Como o denominador não pode ser nulo, temos:
E isolando :
Tirando a raiz dos dois lados da equação, temos:
Esse é um ponto de máximo da nossa função. Então, vamos descobrir o valor de no ponto, substituindo na equação da elipse:
Resolvendo dentro da raiz:
E simplificando, temos:
Passo 5
Agora só falta calcularmos a área, então vamos substituir os valores de e em :
Portanto, a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse vale .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
A área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse vale
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