Enunciado

Encontre f ' x . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

f x = e x - x 2 arctg ⁡ x

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema queremos encontrar a derivada da função

f x = e x - x 2 arctg ⁡ x

E tambem camparar os gráficos de f e f ' .

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos observar dessa função é que em um termo temos um produto de funções, no caso, em x 2 arctg ⁡ x .

Então quando formos derivar esse termo, vamos ter que aplicar a regra do produto...

A regra do produto é dada por

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar derivando a função inteira

f ' x = d e x - x 2 arctg ⁡ x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas

f ' x = d e x d x - d x 2 arctg ⁡ x d x

Na derivada de x 2 arctg ⁡ x aplicamos a regra do produto

f ' x = d e x d x - d x 2 d x · arctg ⁡ x + x 2 · d arctg ⁡ x d x

Agora é só aplicar o teorema fundamental do calculo, onde

d e x d x = e x

d x 2 d x = 2 x

d arctg ⁡ x d x = 1 1 + x 2

Substituindo em f ' x

f ' x = e x - 2 x · arctg ⁡ x + x 2 · 1 1 + x 2

f ' x = e x - 2 x arctg ⁡ x - x 2 1 + x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para comparar os gráficos precisamos plota-los com o auxilio de algum software, eu vou usar o GeoGebra que é online e fácil de usar, só escrever a função que aparece lá:

A função azul é a que tínhamos no começo e a verde é sua derivada calculada por nós.

A função calculada por nós faz sentido:

  • Na coordenada em que a função atinge seu mínimo a derivada cruza o zero.
  • Onde a função está decrescendo a derivada realmente está negativa e onde a função está crescente a derivada está positiva.
  • Vemos dois pontos de inflexão na função original e nas coordenadas desses ponto a função da derivada atinge seus máximos e mínimos locais.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = e x - 2 x arctg ⁡ x - x 2 1 + x 2

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Derive a função: y = e x 1 + x