Enunciado

15. Diferencie

y = x sin ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = x sin ⁡ x cos ⁡ x

E pede pra gente diferenciá-la.

A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de diferenciação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por um produto entre três funções diferentes. Podemos pensar dessa forma, sendo:

f x = x

g x = sin ⁡ x

h x = cos ⁡ x

Assim, nossa função se torna:

y = f x ⋅ g x ⋅ h x

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do produto.

Quando temos o produto entre duas funções a regra é essa aqui:

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Mas agora temos o produto entre três funções, então a derivada ganha uma nova parcela e se torna essa aqui:

f ⋅ g ⋅ h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Perceba que cada parcela é formada pelo produto entre as três funções, sendo que em cada um deles uma delas ganhará a derivação.

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

Lembrando eu a função que queremos derivar é essa aqui:

y = x sin ⁡ x cos ⁡ x

E chamamos

f x = x

g x = sin ⁡ x

h x = cos ⁡ x

Assim, a derivada será:

f ⋅ g ⋅ h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Como vamos precisar das derivadas de cada função para substituir na fórmula, já mas deixar tudo resolvido aqui. Assim:

f ' x = x ' = 1

g ' x = sin ' ⁡ x = cos ⁡ x

h ' x = cos ' ⁡ x = - sin ⁡ x

Perfeito, agora o que nos resta é fazer as devidas substituições para terminar o cálculo.

Passo 3

Substituindo na expressão da derivada, temos:

y ' = f ⋅ g ⋅ h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Que fica:

y ' = 1 cos ⁡ x sin ⁡ x + x cos ⁡ x cos ⁡ x + x sin ⁡ x - sin ⁡ x

E organizando tudo, teremos:

y ' = cos ⁡ x sin ⁡ x + x cos 2 ⁡ x - x sin 2 ⁡ x

E assim finalizamos mais uma questão!!!

Resposta

y ' = cos ⁡ x sin ⁡ x + x cos 2 ⁡ x - x sin 2 ⁡ x

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