Enunciado

  1. Encontre o volume V do sólido que resulta quando a região delimitada por y = 1 1 + x 4 ,   y = 0 ,   x = 1   e   x = b   ( b > 1 ) gira em torno do eixo y .
  2. Encontre lim b → + ∞  ⁡ V .

Passo 1

E aí, como vamos?

  1. Essa aqui é uma clássica questão de volume por cascas cilíndricas. A gente vai montar a integral, sendo que o nosso intervalo vai de 1   a   b . Vai ficar assim:
  2. V = ∫ 1 b 2 π   1 1 + x 4   d x

    V = 2 π ∫ 1 b 1 1 + x 4   d x

    V = 2 π ∫ 1 b 1 1 2 + x 2 2   d x

    = π a r c t g   x 2 1 b

    = π   a r c t g   b 2 - π   a r c t g   1  

    = π a r c t g   b 2 - π 4

    Prontinho! Volume calculado!

    Passo 2

    Vamos ver esse limite aí agora:

  3. lim b → + ∞ ⁡ π a r c t g   b 2 - π 4

O limite da arcotangente é π 2 , ou seja, é o valor máximo dela. Então:

lim b → + ∞ ⁡ π a r c t g   b 2 - π 4 = π π 2 - π 4

π π 4 = π 2 4

E acabamos!

Resposta

  1. π a r c t g   b 2 - π 4
  2. π 2 4
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