Se A = 1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i e B = i 3 2 - 2 i , encontre

(a) A - 2B

(b) 3A + B

(c) A \* B

(d) BA

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B ≠ B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = C

Ou você pode pensar que o termo c i j da matriz c é:

c i j = ∑ k = 1 n a i k x b k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

Temos as matrizes A = 1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i e B = i 3 2 - 2 i . O item (a) nos pede para calcular 2 A + B :

2 A + B =

2 x 1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i + i 3 2 - 2 i =

2 + 2 i - 2 + 4 i 6 + 4 i 4 - 2 i + i 3 2 - 2 i =

2 + 2 i + i - 2 + 4 i + 3 6 + 4 i + 2 4 - 2 i - 2 i =

2 A + B = 2 + 3 i 1 + 4 i 8 + 4 i 4 - 4 i

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para obter A - 4 B :

A - 4 B =

1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i - 4 x i 3 2 - 2 i =

1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i + - 4 i - 12 - 8 8 i =

1 + i - 4 i - 1 + 2 i - 12 3 + 2 i - 8 2 - i + 8 i =

A - 4 B = 1 - 3 i - 13 + 2 i - 5 + 2 i 2 + 7 i

Passo 3

Vamos agora para os itens (c) e (d) que tratam de multiplicação de matrizes. O item (c) pede para determinar A B . Vamos lá???

A B =

1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i i 3 2 - 2 i =

1 + i x i + - 1 + 2 i x 2 1 + i x 3 + - 1 + 2 i x ( - 2 i ) 3 + 2 i x i + 2 - i x 2 3 + 2 i x 3 + 2 - i x ( - 2 i ) =

i - 1 - 2 + 4 i 3 + 3 i + 2 i + 4 3 i - 2 + 4 - 2 i 9 + 6 i - 4 i + 2

A B = - 3 + 5 i 7 + 5 i 2 + i 11 + 2 i

E finalmente, o item (d) pede para determinar B A :

B A =

i 3 2 - 2 i 1 + i - 1 + 2 i 3 + 2 i 2 - i =

i x 1 + i + 3 x ( 3 + 2 i ) i x - 1 + 2 i + 3 x ( 2 - i ) 2 x 1 + i + - 2 i x ( 3 + 2 i ) 2 x - 1 + 2 i + - 2 i x ( 2 - i ) =

i - 1 + 9 + 6 i - i - 2 + 6 - 3 i 2 + 2 i - 6 i + 4 - 2 + 4 i - 4 i - 2

B A = 8 + 7 i 4 - 4 i 6 - 4 i - 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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