Se x = 2 3 i 1 - i e y = - 1 + i 2 3 - i , encontre

(a) x^T \* y

(b) y^T \* y

(c) (x, y)

(d) (y, y)

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de vetores:

Imagine dois vetores a = a 11 + c i a 21 + d i e b = b 11 b 21

Uma das propriedades é a transposição de um vetor. Quando se transpõe um vetor o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

a = a 11 + c i a 21 + d i

a T = a 11 + c i a 21 + d i

Vamos rever agora a multiplicação de vetores. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, a T b ≠ b T a . Esta operação é descrita por:

a T b = ∑ i = 1 n a i x b i

Outra propriedade é o vetor conjugado. Que é dado por:

a - = a 11 - c i a 21 - d i

Que equivale à trocar o sinal da parte imaginária dos coeficientes complexos do vetor.

Vamos ainda relembrar o produto interno de dois vetores. O produto interno é denotado por:

a , b = ∑ i = 1 n a i x b - i

Agora que relembramos estes pontos iremos resolver os itens pedidos. Vamos lá???

Passo 2

O item (a) nos pede para determinar a multiplicação x T y :

x T y =

∑ i = 1 n x i x y i =

2 x - 1 + i + 3 i x 2 + 1 - i x 3 - i =

- 2 + 2 i + 6 i + 3 - i - 3 i - 1 =

x T y = 4 i

O próximo passo será calcular a multiplicação de vetores y T y :

y T y =

∑ i = 1 n y i x y i =

- 1 + i x - 1 + i + 2 x 2 + 3 - i x 3 - i =

1 - 2 i - 1 + 4 + 9 - 6 i - 1 =

12 - 8 i

Passo 3

Vamos agora para os cálculos de produto interno. O item (c) pede ( x , y ) , por isso, antes de prosseguir vamos determinar o vetor conjugado y - :

y = - 1 + i 2 3 - i

y - = - 1 - i 2 3 + i

Então:

x , y = ∑ i = 1 n x i x y - i =

2 x - 1 - i + 3 i x 2 + 1 - i x 3 + i =

- 2 - 2 i + 6 i + 3 + i - 3 i + 1 =

2 + 2 i

Vamos agora ao item (d) que pede ( y , y ) :

y , y = ∑ i = 1 n y i x y - i =

- 1 + i x - 1 - i + 2 x 2 + 3 - i x 3 + i =

+ 1 + i - i + 1 + 4 + 9 + 3 i - 3 i + 1 =

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Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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