Encontrea. (∂w/∂y)_x b. (∂w/∂y) = no ponto (w, x, y, z) = (4.2, 1, -1) se

w = x^2 y^2 + yz - z^3 e x^2 + y^2 + z^2 = 6

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos(a) ∂ w ∂ y x (b) ∂ w ∂ y z No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) se w = x 2 y 2 + y z - z 3 e x 2 + y 2 + z 2 = 6

Passo 2

(a)diagrama é:

x y → x = x y = y z = z ( x , y ) → w

A derivada será então:

∂ w ∂ y x = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ y + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ y + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ y ∂ w ∂ y x = 2 x y 2 ( 0 ) + 2 x 2 y + z ( 1 ) + y - 3 z 2 ∂ z ∂ y ∂ w ∂ y x = 2 x 2 y + z + y - 3 z 2 ∂ z ∂ y

Passo 3

Substituindo os valores chegamos em:

  ( 2 x ) ∂ x ∂ y + 2 y + ( 2 z ) ∂ z ∂ y = 0 ∂ x ∂ y = 0  o que leva a  2 y + ( 2 z ) ∂ z ∂ y = 0 ∂ z ∂ y = - y z

No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) temos então que

∂ z ∂ y = - 1 - 1 ∂ z ∂ y = 1

Substituindo os valores chegamos a:

∂ w ∂ x x ( 4,2 , 1 , - 1 ) = ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) + ( - 1 ) + 1 - 3 ( - 1 ) 2 ( 1 )  Resposta:  ∂ w ∂ x x ( 4,2 , 1 , - 1 ) = 5

Passo 4

(b)diagrama é:

y z → x = x ( y , z ) y = y z = z → w

E a derivada será então:

∂ w ∂ y z = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ y + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ y + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ y ∂ w ∂ y z = 2 x y 2 ∂ x ∂ y + 2 x 2 y + z ( 1 ) + y - 3 z 2 ( 0 ) ∂ w ∂ y z = 2 x 2 y ∂ x ∂ y + 2 x 2 y + z

Passo 5

Substituindo os valores temos:

  ( 2 x ) ∂ x ∂ y + 2 y + ( 2 z ) ∂ z ∂ y = 0 E ∂ z ∂ y = 0 ,  o que leva a    ( 2 x ) ∂ x ∂ y + 2 y = 0 ∂ x ∂ y = - y x

No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) temos que ∂ x ∂ y = - 1 2 . Substituindo os valores temos

∂ w ∂ y z ( 4,2 , 1 , - 1 ) = ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 - 1 2 + ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) + ( - 1 ) ∂ w ∂ y z ( 4,2 , 1 , - 1 ) = 5

Resposta

Resposta nos passos.

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