Enunciado

A equação de Bessel de ordem zero é

x 2 y ″ + x y ' + x 2 y = 0

(a) Mostre que x   =   0   é um ponto singular regular.

(b) Mostre que as raízes da equação indicial são r 1 = r 2 = 0 .

(c) Mostre que uma solução para x   >   0 é

J 0 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 2 x 2 n 2 2 n n ! 1

(d) Mostre que a série para J 0 ( x ) converge para todo x . A função J 0 é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.

Passo 1

(a ) A partir da equação dada, temos P ( x ) = x 2 ,   Q ( x ) = x e R ( x ) = x 2 . Os pontos singulares ocorrem quando P ( x 0 ) = 0 , portanto, o ponto singular da equação dada é:

x 0 = 0

Para descobrir se x 0 = 0 é um ponto singular regular, verificamos se os seguintes limites são finitos:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x x x 2 = 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 x 2 = 0

Portanto, x 0 é um ponto singular regular.

Passo 2

(b) Agora assumimos que a solução y é dada na forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

A primeira derivada:

y ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n

A segunda derivada é:

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n - 2

Se a nossa EDO está na forma:

x 2 y ″ + x y ' + x 2 y = 0

x 2 ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n - 2 + x ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n - 1 + x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0  

Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:

∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + ∑ n = 2 ∞ a n x r + n + 2 = 0  

Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que x neles expoente r   +   n :

∑ n = - 1 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x r + n = 0  

Passo 3

Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice n =   2 e obtenham:

r r - 1 a 0 x r + r + 1 r a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n + r a 0 x r + r + 1 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ ( r + n ) a n x r + n + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x r + n = 0  

Combinando os termos, temos:

r r - 1 + r a 0 x r + r + 1 r + ( r + 1 ) a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ r + n r + n - 1 + r + n a n + a n - 2 x r + n = 0

Ou seja, depois de simplificar:

r 2 a 0 x r + r + 1 2 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ r + n 2 a n + a n - 2 x r + n = 0

Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:

r 2 a 0 = 0

r + n 2 a 1 = 0

r + n 2 a n + a n - 2 = 0

Desde que a 0 ≠ 0 , nós obtemos a equação:

r 2 = 0

Onde as duas raízes são nulas, ou seja:

r = 0

Se:

a 1 = 0

r + n 2 a n + a n + 2 = 0 ; i = 1,2 , …

Passo 4

A relação pode ser escrita como.

a n = - a n - 2 r + n 2 = - a n - 2 n 2

Teremos:

a 0

a 1 = 0

a 2 = - a 0 2 2 ,   a 3 = 0

a 4 = - a 2 4 2 = a 0 2 2 4 2 = a 0 2 4 2 ! 2 ; a 5 = 0

Portanto, escolhendo a 0 = 1 , a solução y   é igual a:

y = x 0 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 1 - x 2 2 2 1 ! 2 + x 4 2 4 2 ! 2 - x 6 2 6 3 ! 2 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 = J 0 ( x )

Passo 5

Vamos usar o teste de proporção para verificar se a série para J 0 ( x ) converge para todos os x :

x - x 0 lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 2 n + 2 n + 1 ! 2 - 1 n 2 2 n n ! 2 = x lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) 4 n + 1 2 = 0 < 1

Portanto, a série converge para todos os x .

Resposta

(a) x 0 é um ponto regular.

(b) r + n 2 a n + a n + 2 = 0

(c) y = J 0 ( x )

(d) A série converge para todo x .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' + x y = 1 + x
Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. 1 + x 3 y ' ' + 4 x y ' + y
Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' = e x 2 y
Determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série em torno de x 0 dado para cada uma das equações diferenciais dadas nos problemas de 1 a 14 da Seção 5.2.
A Equação de Chebyshev. A equação diferencial de Chebyshev 7 é ( 1 – x 2 ) y ″–x y '+α 2 y=0 ,em que α é uma constante. (a) Determine duas soluções em séries de potências de x para | x |1 e mostre que