Enunciado

Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v ( x ) , então

y 2 x = J 0 ( x ) ∫ d x x J 0 x 2

Encontre o primeiro termo na expansão em série de 1 / [ x J 0 x 2 .

Passo 1

Depois de definir y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v ( x ) , diferenciamos y 2 duas vezes:

y 2 ' x = J 0 ' x v x + J 0 x v ' ( x )

y 2 ' ' x = J 0 ' ' x v x + 2 J 0 ' x v ' x + J 0 x v ' ' ( x )

Substituindo essas expressões na equação de Bessel de ordem zero, obtemos:

x 2 J 0 ' ' x v x + 2 J 0 ' x v ' x + J 0 x v ' ' x + x J 0 ' x v x + J 0 x v ' ( x ) + x 2 J 0 x v x = 0

Após reorganizar os termos, temos:

x 2 J 0 x v ' ' x + 2 x 2 J 0 ' x + x J 0 ( x ) v ' x + x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x v x = 0

Como J 0 é uma solução da equação inicial, o coeficiente de v ( x ) na equação superior é zero, assim obtemos:

x 2 J 0 x v ' ' x + 2 x 2 J 0 ' x + x J 0 ( x ) v ' x = 0

Se substituirmos w = v ' , obtemos:

x 2 J 0 x w ' x + 2 x 2 J 0 ' x + x J 0 ( x ) w x = 0

Separando as variáveis e resolvendo em torno de w :

x 2 J 0 x w ' x = - 2 x 2 J 0 ' x + x J 0 x w x : w x x 2 J 0 ≠ 0  

Então:

w ' x w ( x ) = - 2 J 0 ' x J 0 x - 1 x

Integrando:

ln ⁡ w ( x ) = - 2 ln ⁡ J 0 x - ln ⁡ x + C

Multiplicando por exponencial para cortar a função l n :

w x = C x J 0 x 2

Onde C ∈ R ∖ 0 .

Passo 2

Finalmente, nós podemos dizer que:

v ' x = C x J 0 x 2

Integrando, teremos:

v x = ∫ C d x x J 0 x 2

Quando escolhemos C   =   1 , temos:

y 2 = J 0 x v x = J 0 ( x ) ∫ d x x J 0 x 2

Podemos encontrar a expansão em série de 1 x J 0 x 2   usando programas como Wolfram Alpha ou Desmos. O resultado será:

1 x J 0 x 2 = 1 x + x 2 + 5 x 3 32 + 23 x 5 576 + O x 6 .

Então, teremos :

∫ d x x J 0 x 2 = ln ⁡ x + x 2 4 + …

Resposta

∫ d x x J 0 x 2 = ln ⁡ x + x 2 4 + …

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