Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = ( 1 + cos ⁡ t )   i + 2 + sen t ⁡   j ,                                     t = π / 6  

Passo 1

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são

x = 1 + cos ⁡ t                   y = 2 + s e n   t

Isolando cos ⁡ t e s e n   t nessas equações temos:

cos ⁡ t = x - 1                         s e n   t = y - 2

Além disso sabemos que cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 1 . Logo:

x - 1 2 + y - 2 2 = 1

Essa equação é uma forma mais conhecida de apresentação da função vetorial r ( t ) , e representa um círculo centrado no ponto (1, 2).

Passo 2

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) .

r t = ( 1 + cos ⁡ t )   i + 2 + sen t ⁡   j               →                 r ' t = - s e n   t   i + cos ⁡ t   j

Passo 3

O vetor posição r ( t ) em t = π / 6 é

r π / 6 = 1 + c o s π 6   i + 2 + s e n π 6 j

r π / 6 = 1 + 3 2 i + 2 + 1 2 j

r π / 6 = 1 + 3 2 i + 5 2 j

Por outro lado, o vetor tangente em t = π / 6 , tem origem no ponto ( 1 + 3 / 2 ,   5 / 2 ) e é dado por

r ' π / 6 = - s e n π 6   i + cos ⁡ π 6   j

r ' π / 6 =   - 1 2   i + 3 2 ⁡   j

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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