Enunciado

Verifique que y = s e n   x   c o s x - cos ⁡ x é uma solução do problema de valor inicial

y ' + t g   x y = cos 2 ⁡ x   y 0 =   - 1 no intervalo – π 2 < x < π 2 .

Passo 1

Queremos mostrar que y = s e n   x   c o s x - cos ⁡ x é uma solução da EDO y ' + t g   x y = cos 2 ⁡ x   .

Bom, vamos começar verificando se essa equação obedece a condição de que y 0 =   - 1 .

y   ( x ) = s e n   x   c o s x - cos ⁡ x

y   ( 0 ) = s e n   0   c o s 0 - cos ⁡ 0

y   ( 0 ) = - 1

Deu certo, então agora precisamos derivar y e substituir na equação para ver se é a solução.

Passo 2

Se y = s e n   x   c o s x - cos ⁡ x , então:

y ' = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x + s e n   x

Vamos substituir essa equação na nossa EDO

y ' + t g   x y = cos 2 ⁡ x  

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x + s e n   x + t g   x ( s e n   x c o s x - c o s x ) = cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x + s e n   x + ( s e n x c o s x ) ( s e n   x c o s x - c o s x ) = cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x + s e n   x + s e n 2 x - s e n x = cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

Então y = s e n   x   c o s x - cos ⁡ x é uma solução do problema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o método de Euler com o passo 0,1 para estimar y 0,5 , onde y x é a solução do problema de valor inicial y ' = y + x y , y 0 = 1
Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y 1 , onde y x é a solução do problema de valor inicial y ' = 1 - x y , y 0 = 0
Esboce o campo de direções das equações diferenciais dadas. Use-os para esboçar a curva que passa pelo ponto dado.11. y ' = y - 2 x ( 1,0 )
Use o método de Euler com o passo 0,5 para calcular os valores aproximados de y , y 1 , y 2 , y 3ey 4 da solução do problema de valor inicial y ' = y - 2 x ,y 1 = 0 .
Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y 1,4 , onde y x é a solução do problema de valor inicial y ' = x - x y , y 1 = 0 Repita a parte (a) com passo 0,1 .