Enunciado

Esboce o gráfico da equação por translação, reflexão, compressão e alongamento do gráfico de y = x 2 , y = x , y = 1 / x , y = x ou y = x 3 de maneira apropriada e, então, use um recurso gráfico para confirmar que seu esboço está correto.

y = x 2 - 4 x + 4

Passo 1

Bem, nessa questão, nós vamos usar os princípios de translação, alongamento, compreensão e reflexão vistos nesse capítulo e que ficaram bem resumidos na tabela 0.2.2, 0.2.3 e 0.2.4.

Basicamente:

Se temos uma função, por exemplo, g x = x 2 e somamos uma constante positiva à função, por exemplo g x = x 2 + 1 , deslocamos o gráfico da função na quantidade equivalente ao valor da constante para cima (no nosso exemplo, deslocaríamos em 1 unidade para cima no eixo y ).

Se subtraímos uma constante à função ( g x = x 2 - 1 ), deslocamos o gráfico para baixo (no exemplo, seria 1 unidade para baixo no eixo y ).

Se somamos uma constante positiva ao x (ex.: g x = x + 1 2 ), deslocamos o gráfico para a esquerda (no exemplo, seria 1 unidade para a esquerda no eixo x ).

Se subtraímos uma constante positiva ao x (ex.: g x = x - 1 2 ), deslocamos o gráfico para a direita (no exemplo, seria 1 unidade para a direita no eixo x ).

Se multiplicamos a função por uma constante positiva maior que 1 , alongamos o gráfico no eixo vertical por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos a função por uma constante positiva entre 0 e 1 , comprimimos o gráfico no eixo vertical por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos x por uma constante positiva maior que 1 , comprimimos o gráfico no eixo horizontal por um fator equivalente à constante.

Se multiplicamos x por uma constante positiva entre 0 e 1 , alongamos o gráfico no eixo horizontal por um fator equivalente à constante.

Se substituímos x por - x , refletimos o gráfico pelo eixo y .

Se multiplicarmos a função por - 1 , refletimos o gráfico pelo eixo x .

Vamos usar esses conceitos para resolver essa questão!!

Passo 2

Olhando para a função:

y = x 2 - 4 x + 4

Ela parece uma mistura de y = x 2 com y = x né? Mas calma, vamos arrumar ela antes de fazer qualquer coisa.

Lembra do produto notável do quadrado da diferença? Eu te lembro:

x - a 2 = x 2 - 2 a x + a 2

Onde a é um número qualquer.

Veja se não parece com o termo que temos dentro da raiz! Por comparação:

x 2 - 2 a x + a 2 = x 2 - 4 x + 4

A gente pode ver que a 2 = 4 ou 2 a = 4 , nos dois casos, teremos um a = 2 . Então, podemos dizer que:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

E o produto notável bate certinho! Com isso, podemos reescrever nossa função:

y = x 2 - 4 x + 4

y = x - 2 2

Tirando essa raiz quadrada:

y = ± x - 2

Obs.: Temos que lembrar que a raiz quadrada aceita os dois valores, tanto positivo quanto negativo, como resposta!

Para tirar esse ± , podemos colocar o módulo no termo:

y = x - 2

Opa, agora ele se parece mais com o gráfico de x !!

Passo 3

Vamos ver as modificações a partir de x .

Vamos, apenas, subtrair 2 ao x , o que desloca o gráfico de x em 2 unidades para a direita

Com isso, chegamos no gráfico de y = x - 2 = x 2 - 4 x + 4 .

Resposta

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