Enunciado

Esboce o gráfico da função y = f ( x ) dada implicitamente pela equação

f ) y + 1 y = x ,     x ≠ 1

Passo 1

Primeiro vamos deixar y explicitamente em função de x . Como? Isolando y no lado esquerdo da equação y + 1 y = x :

y + 1 y = x

1 + 1 y = x

1 y = x - 1

E agora invertendo os dois lados da equação (e assim isolando y ) temos:

y = 1 x - 1

Beleza até aqui?

Passo 2

Ok! Temos aqui a função y = 1 / ( x - 1 ) e como já estamos carecas de saber, ela tem a cara de uma hipérbole deslocada. Se você não lembra, não tem problema! É só voltar alguns exercícios atrás e dar uma espiadinha no nosso conteúdo sobre as hipérboles, ta ok?

O comportamento dela vai ser o seguinte:

  • Quando x aumenta, o denominador também aumenta. Sendo assim, o valor de y vai ficando cada vez menor, ou seja, ele tende a zero quando x tende a infinito.
  • Mas e quando x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1 ? Bom, daí o denominador vai ficando cada vez menor (positivo, mas pequeno). E se fizermos a divisão de um número por outro muito pequeno, o resultado vais er um número bem grande! Então temos que quando x vai chegando perto de 1 , o valor de y vai aumentando cada vez mais. Isso significa que em x = 1 o gráfico apresenta uma assíntota vertical.
  • Já se o x tender a 1 por valores menores do que 1 , vamos ter o mesmo comportamento, mas agora para menos infinito.

Passo 3

Bom, agora que já determinamos o comportamento dela, vamos ao esboço do gráfico?

Resposta

y = 1 x - 1

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