Calcule.

lim x → p ⁡ g x - g p x - p onde g(x) = 1 / x^2

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir as funções g x = 1 x 2 e g p = 1 p 2 no limite:

lim x → p ⁡ g x - g p x - p = lim x → p ⁡ 1 x 2 - 1 p 2 x - p

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor p na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

lim x → p ⁡ 1 x 2 - 1 p 2 x - p = lim x → p ⁡ p 2 - x 2 p 2 x 2 x - p = lim x → p ⁡ p 2 - x 2 p 2 x 2 ∙ 1 x - p

Vamos multiplicar e dividir a expressão por - 1 :

lim x → p ⁡ p 2 - x 2 p 2 x 2 ∙ 1 x - p ∙ - 1 - 1 = lim x → p ⁡ - p 2 + x 2 - p 2 x 2 ∙ 1 x - p = lim x → p ⁡ x 2 - p 2 - p 2 x 2 ∙ 1 x - p

Passo 3

Sabemos que:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Podemos usar isso em x 2 - p 2 :

x 2 - p 2 = x + p x - p

Agora substituindo no limite:

lim x → p ⁡ x 2 - p 2 - p 2 x 2 ∙ 1 x - p = lim x → p ⁡ x + p x - p - p 2 x 2 ∙ 1 x - p = lim x → p ⁡ x + p - p 2 x 2 ∙ 1 1 = lim x → p ⁡ x + p - p 2 x 2

Pronto, agora é simples, só substituir o valor p na expressão:

lim x → p ⁡ x + p - p 2 x 2 = p + p - p 2 p 2 = - 2 p p 4 = - 2 p 3

Resposta

lim x → p ⁡ 1 x 2 - 1 p 2 x - p = - 2 p 3

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