Enunciado

Esboce o gráfico da função y = f ( x ) dada implicitamente pela equação

c )   ( x - 1 ) 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma olhadinha pra cara dessa equação. Ela é do tipo:

x - x c 2 + y - y c 2 = R 2

Não é? E essa é a equação de uma circunferência na forma reduzida. Se você não se lembra, dá uma olhadinha na parte de circunferência da nossa plataforma =)

Aqui temos que o centro é dado por ( 1,0 ) e o raio é R = 2 . Como queremos a parte y ≥ 0 , queremos apenas a parte positiva da circunferência. Ok? Feita essa parte, vamos ao que interessa?

Primeiro vamos deixar y explicitamente em função de x . Como? Isolando y no lado esquerdo da equação ( x - 1 ) 2 + y 2 = 4 :

y 2 = 4 - ( x - 1 ) 2

y = ± 4 - ( x - 1 ) 2

Saca só uma coisa aqui: temos duas opções para y , uma positiva e outra negativa. Mas e agora, qual escolher? Como dito anteriormente, queremos y ≥ 0 , então a equação correta é:

y = 4 - ( x - 1 ) 2

Passo 2

Beleza! Determinado isso podemos ver que a função f ( x ) é a parte positiva de um círculo de raio 2 e centro ( 1,0 ) . Os pontos onde a função é zero são:

0 = 4 - ( x - 1 ) 2

x - 1 2 = 4

x 2 - 2 x + 1 - 3 = 0

x 2 - 2 x - 2 = 0

Essa é uma equação de segunda ordem com a = 1 ,   b = - 2 ,   c = - 2 e resolvemos ela pela fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 2 ± - 2 2 - 4.1 . ( - 2 ) 2.1

x = 2 ± 4 + 8 2 = 2 ± 16 2 = 2 ± 4 2

Sendo assim as raízes são: x ' = 3 e x ' ' = - 1 .

Então temos que 3,0 e ( - 1,0 ) são as raízes da equação.

E o ponto que afunção cruza o eixo y é com ( x = 0 ) :

y = 4 - ( 0 - 1 ) 2 = 4 - 1 = 3

Então outro ponto pertencente ao gráfico é ( 0 , 3 ) .

Passo 3

Juntando os pontos que encontramos no passo 2 e sabendo que é a parte de cima de um círculo de raio 2 e centro ( 1,0 ) , podemos fazer o esboço do gráfico:

Resposta

y = 4 - ( x - 1 ) 2

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