Enunciado

Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico.

j ) f x = - x 2 - 4 x - 5

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá? Bom, a f ( x ) é uma função de segunda ordem, portanto a cara dela é de uma parábola. E para desenhar, precisamos de quatro pontos:

  • As duas raízes (onde o gráfico corta o eixo x   ∴ f x = 0 );
  • O ponto do termo independente (onde o gráfico corta o eixo y   ∴ f ( 0 ) )
  • E o vértice: que mostra onde o gráfico vai apresentar o valor máximo (se a parábola tiver boca para baixo ( a < 0 ) ) ou um mínimo (se a parábola tiver boca para cima ( a > 0 ) ).

Então vamos aos pontos?

Passo 2

Vamos achar as raízes da função:

- x 2 - 4 x - 5 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 . - 1 . - 5 2 . - 1 = - 4 ± - 4 - 2

Xiiii! Aqui temos um probleminha, o valor de Δ é negativo, ou seja, essa função não admite raízes reais: ela está “voando”. Mas tudo bem! Temos mais dois outros pontos para determinar. Bora lá?

E vou aproveitar e determinar onde a função corta o eixo vertical: f ( 0 ) :

f 0 = - 0 2 + 4.0 - 5 = - 5

Certo! Achamos o ponto ( 0 , - 5 ) .

Passo 3

Por fim, vamos ao vértice. A coordenada x do vértice é x v = - b / 2 a então:

x v = - ( - 4 ) 2 . - 1 = - 2

E a coordenada y é dada por y v = - Δ / 4 a :

y v = - ( - 4 ) 4 . - 1 = - 1

Perfeito! O outro ponto é - 2 , - 1 . Como essa parábola tem a = - 1 < 0 , ela tem boca para baixo, então o y do vértice representa o valor máximo que ela pode assumir.

O maior valor que a parábola assume é:

f - 2 = - 1

Passo 4

Relembrando:

  • Raiz: não admite raiz real.
  • Ponto onde corta o eixo y : ( 0 , - 5 )
  • Vértice (máximo): - 2 , - 1

Agora é só esboçar o gráfico:

Resposta

n ã o   a d m i t e   r a í z   r e a l ;   f - 2 = - 1

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