Enunciado

Esboce o gráfico da função duas vezes derivável y = f ( x ) com as seguintes propriedades. Quando possível, indique as coordenadas.

Passo 1

Sabemos que:

  • y ' ( x ) > 0 se a função é crescente em x.
  • y ' x < 0   se a função é decrescente em x.
  • y ' x = 0 se x é um ponto crítico no gráfico (máximo ou mínimo absolutos)
  • y ' ' x > 0 se a concavidade do gráfico é para cima em x.
  • y ' ' x < 0 se a concavidade do gráfico é para baixo em x.
  • y ' ' x = 0 se x é um ponto de inflexão (onde muda a concavidade)

A partir dessas informações, podemos esboçar a curva:

Passo 2

Primeiramente, marque os pontos dados: 2,1 ,   4,4 e   ( 6,7 ) .

Veja que quando x < 2 a função é crescente, com a concavidade para baixo.

Temos um ponto mínimo em ( 2,1 ) , pois a derivada primeira é zero, e a segunda é positiva.

Para valores de x entre 2 e 4, a função é crescente, com a concavidade para cima.

Temos um ponto de inflexão em ( 4,4 ) , no ramo crescente.

No intervalo de ( 4,6 ) , a função é crescente e tem a concavidade para baixo.

Temos um ponto de máximo em ( 6,7 ) , pois a derivada primeira é nula e a segunda é negativa.

E por fim, para valores de x > 6 , a função é decrescente e possui a concavidade para baixo.

Passo 3

Juntando essas informações, podemos esboçar o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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