Enunciado

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Nessa função, como temos módulo na função, vamos analisar dois casos separadamente:

  • 1: Caso x ≥ 0
  • Nesse caso, nossa função se resume a y = s e n   x   .

  • 2: Caso x ≤ 0

Nesse caso, nossa função fica: y = s e n - x =   - s e n   x   (a função seno é ímpar).

(Veja que esses dois casos formam o gráfico completo, um do lado esquerdo da origem e outro do lado direito).

Vamos calcular a derivada primeira e segunda em ambos os casos:

1: y ' = cos ⁡ x e y ' ' =   - s e n   x

2: y ' =   - cos ⁡ x e y ' ' = s e n   x  

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

  y 1 ' = cos ⁡ x = 0 → x =   ± π 2   e   x = ± 3 π 2

y 2 ' =   - cos ⁡ x = 0 → x =   ± π 2   e   x =   ± 3 π 2

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' π 2 = - 1 < 0

y ' ' - π 2 =   - 1 < 0

y ' ' 3 π 2 =   - - 1 = 1 > 0

y ' ' - 3 π 2 = 1 > 0

Então a função possui pontos de máximo em x =   ± π 2 e pontos de mínimo em x =   ± 3 π 2 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

Temos que s e n   x = 0 → x = 0   o u   π …

y 1 ' ' = - s e n   x   ( p a r a   x > 0 )

y 2 ' ' = s e n   x   ( p a r a   x < 0 )

Então, temos que a concavidade é para baixo em - π ,   0   e 0 ,   π e para cima em ( - 2 π ,   - π ) e ( π ,   2 π ) .

E os pontos de inflexão são: ( - π , 0 ) e ( π ,   0 ) .

Resposta

Pontos de máximo em x =   ± π 2 e pontos de mínimo em x =   ± 3 π 2 .

A concavidade é para baixo em - π ,   0   e 0 ,   π e para cima em ( - 2 π ,   - π ) e ( π ,   2 π ) .

E os pontos de inflexão são: ( - π , 0 ) e ( π ,   0 ) .

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