Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = - (x^2 - x + 1)/(x - 1)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 1 } (não pode zerar o denominador)

Podemos resolver isso derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x^2 - x + 1 por x - 1 (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente x

e resto 1. Então, podemos reescrever nossa função como:

y = - (x + (1)/(x - 1)) = - x - (1)/(x - 1)

Ficou mais fácil né? Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y^' = - 1 + (1)/((x - 1)^2)

y^(' ') = - (2)/((x - 1)^3)

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

- 1 + (1)/((x - 1)^2) = 0 -> (1)/((x - 1)^2) = 1 -> (x - 1)^2 = 1

x - 1 = 1 -> x = 2 o u x - 1 = - 1 -> x = 0

Pelo teste da derivada segunda: y^(' ') (2) = - 2 < 0 e y^(' ') (0) = 2 > 0

Então, temos um ponto máximo em ( 2 , - 3 ) e um ponto mínimo ( 0 , 1 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y^' = - 1 + (1)/((x - 1)^2)

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = 2 e não está definida em x = 1 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( 0,1 ) e decrescente em ( - oo , 0 ) e ( 1 , oo ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y^(' ') = - (2)/((x - 1)^3) , então vamos analisar o sinal nos intervalos anteriores:

Então, a concavidade é para baixo em (1 , oo) e para cima em ( - oo , 1 ) .

A função muda a concavidade em x = 1 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y (0) = 1 -> ( 0 , 1 )

A função não corta o eixo x, pois a função x^2 - x + 1 não possui raízes reais (discriminante Delta negativo)

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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