Esboce o gráfico da função racional:

y = -((x^2 - x + 1) / (x - 1))

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 1 } (não pode zerar o denominador)

Podemos resolver isso derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x 2 - x + 1 por x - 1 (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente x

e resto 1. Então, podemos reescrever nossa função como:

y =   - x + 1 x - 1 =   - x - 1 x - 1

Ficou mais fácil né? Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y ' =   - 1 + 1 x - 1 2

y ' ' =   - 2 x - 1 3

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

- 1 + 1 x - 1 2 = 0 → 1 x - 1 2 = 1 → x - 1 2 = 1

x - 1 = 1 → x = 2   o u   x - 1 = - 1 → x = 0

Pelo teste da derivada segunda: y ' ' 2 =   - 2 < 0 e y ' ' 0 = 2 > 0

Então, temos um ponto máximo em ( 2 ,   - 3 ) e um ponto mínimo ( 0 ,   1 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = - 1 + 1 x - 1 2

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x =   2 e não está definida em x = 1 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( 0,1 ) e decrescente em ( - ∞ , 0 )   e ( 1 , ∞ ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - 2 x - 1 3 , então vamos analisar o sinal nos intervalos anteriores:

Então, a concavidade é para baixo em 1 , ∞ e para cima em ( - ∞ , 1 ) .

A função muda a concavidade em x = 1 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y 0 =   1 → ( 0 ,   1 )

A função não corta o eixo x, pois a função x 2 - x + 1 não possui raízes reais (discriminante Δ negativo)

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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