Esboce o gráfico da função racional:

y = 4x / (x^2 + 4)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R , já que o denominador nunca vai zerar.

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y ' = 4 x 2 + 4 - 2 x 4 x x 2 + 4 2 = - 4 x 2 + 16 x 2 + 4 2

y ' ' = - 8 x x 2 + 4 2 - 2 x 2 + 4 2 x - 4 x 2 + 16 x 2 + 4 4 = 8 x 3 - 96 x x 2 + 4 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - 4 x 2 + 16 x 2 + 4 2 = 0 → 4 x 2 = 16 → x 2 = 4 → x = ± 2  

E pelo teste da derivada segunda, temos:

y ' ' - 2 = 1 4 > 0 e y ' ' 2 =   - 1 4

Então, temos um ponto de máximo em x = 2 , e um ponto de mínimo em x = - 2   dados pelos pontos - 2 , - 1   e   ( 2 ,   1 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Veja que: - 4 x 2 + 16 x 2 + 4 2 > 0 → - 4 x 2 + 16 > 0 (pois o denominador nesse caso é sempre positivo)

- 4 x 2 + 16 > 0 → x 2 < 4 → x > - 2   e   x < 2

Então, a função é crescente em ( - 2 ,   2 ) e decrescente em ( - ∞ ,   - 2 ) e ( 2 ,   ∞ )

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   8 x 3 - 96 x x 2 + 4 3

Novamente, o denominador vai ser sempre positivo, então vamos analisar o numerador:

8 x 3 - 96 x = 8 x x 2 - 12 = 0 → x = 0   o u   x 2 = 12 → x = ± 12

Então, a concavidade é para baixo em - ∞ ,   - 12 e ( 0 ,   12 ) para cima em - 12 , 0 e   ( 12 ,   ∞ ) .

Além disso, a função   y = 4 x x 2 + 4 é negativa quando x < 0 , então antes de zero ela fica abaixo do eixo x, e depois do zero ela fica acima do eixo x.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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