Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = (4 x)/(x^2 + 4)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R , já que o denominador nunca vai zerar.

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y^' = (4 (x^2 + 4) - 2 x (4 x))/((x^2 + 4)^2) = (- 4 x^2 + 16)/((x^2 + 4)^2)

y^(' ') = (- 8 x (x^2 + 4)^2 - 2 (x^2 + 4) (2 x) (- 4 x^2 + 16))/((x^2 + 4)^4) = (8 x^3 - 96 x)/((x^2 + 4)^3)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = (- 4 x^2 + 16)/((x^2 + 4)^2) = 0 -> 4 x^2 = 16 -> x^2 = 4 -> x = +- 2

E pelo teste da derivada segunda, temos:

y^(' ') (- 2) = (1)/(4) > 0 e y^(' ') (2) = - (1)/(4)

Então, temos um ponto de máximo em x = 2 , e um ponto de mínimo em x = - 2 dados pelos pontos (- 2 , - 1) e ( 2 , 1 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Veja que: (- 4 x^2 + 16)/((x^2 + 4)^2) > 0 -> - 4 x^2 + 16 > 0 (pois o denominador nesse caso é sempre positivo)

- 4 x^2 + 16 > 0 -> x^2 < 4 -> x > - 2 e x < 2

Então, a função é crescente em ( - 2 , 2 ) e decrescente em ( - oo , - 2 ) e ( 2 , oo )

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y^(' ') = (8 x^3 - 96 x)/((x^2 + 4)^3)

Novamente, o denominador vai ser sempre positivo, então vamos analisar o numerador:

8 x^3 - 96 x = 8 x (x^2 - 12) = 0 -> x = 0 o u x^2 = 12 -> x = +- sqrt(12)

Então, a concavidade é para baixo em (- oo , - sqrt(12)) e ( 0 , sqrt(12) ) para cima em (- sqrt(12) , 0) e ( sqrt(12) , oo ) .

Além disso, a função y = (4 x)/(x^2 + 4) é negativa quando x < 0 , então antes de zero ela fica abaixo do eixo x, e depois do zero ela fica acima do eixo x.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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