Enunciado

45.

(a) Esboce o gráfico da função f ( x ) = x x .

(b) Para que os valores de x são diferenciáveis?

(c) Encontre uma fórmula para f ´

Passo 1

Inicialmente transformaremos nossa função em uma função de duas variáveis:

Se x ≥ 0 , x = x

Então   f ( x ) = x 2

Se x < 0 , x = - x

Então   f ( x ) = - x 2

O gráfico para   x ≥ 0 é um ramo de parábola com concavidade voltada para cima.

E para x < 0 , é um ramo de parábola com concavidade para baixo. Faremos o esboço no próximo passo.

Passo 2

(A)

(B)

A função não apresenta bico, nem tangente vertical e nem descontinuidade, então é derivável em todos os valores Reais. R

Passo 3

(C)

Na letra c, usaremos a fórmula de derivada para calcularmos, mas faremos duas expressões, uma para x ≥ 0 e outra para x < 0 :

Para x ≥ 0 :

f ´ ( x ) = ⁡ lim h → 0 ⁡ f ( x + h ) - f ( x ) h = l i m h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = l i m h → 0 2 x h + h 2 h = l i m h → 0 ( 2 x + h ) = 2 x

Para x < 0 :

f ´ ( x ) = ⁡ lim h → 0 ⁡ f ( x + h ) - f ( x ) h = l i m h → 0 - x 2 - 2 x h - h 2 + x 2 h = l i m h → 0 - 2 x h - h 2 h = l i m h → 0 ( - 2 x - h ) = - 2 x

f ´ ( x ) = 2 x , s e   x ≥ 0 - 2 x   ,   s e     x < 0   = 2 x  

Resposta

(A)

(B)

A função não apresenta bico, nem tangente vertical e nem descontinuidade, então é derivável em todos os valores Reais. R

(C)

f ´ ( x ) = 2 x , s e   x ≥ 0 - 2 x   ,   s e     x < 0   = 2 x  

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25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
27. Dada f x = x 3 / 2 . (a) Prove que f é continua à direita de 0. (b) Prove que f ´ + 0 existe e ache seu valor. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( c )
23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (a)
22. Dada f x = 4 - x 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [ - 2 ,2 ] . (b) Prove que nem f ´ + 2 nem f ´ - ( 2 ) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (b)
24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (a)