Enunciado

23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3   e   3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra (a)

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo ( -∞,-3] e [3,+∞) e solicita que mostremos que a função é contínua nestes 2 intervalos.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter x2 – 9 ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≥ 9.. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є ( -∞,-3] e b Є [3,+∞). Como a ≤ -3 e b ≥ 3 , segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo a ≤ -3 e um x = b arbitrário pertencendo ao intervalo b ≥ 3 . Como a e b são arbritários, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

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22. Dada f x = 4 - x 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [ - 2 ,2 ] . (b) Prove que nem f ´ + 2 nem f ´ - ( 2 ) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
32. Dada f x = [ x ] , ache f ´ ( x 1 ) se x 1 não for inteiro. Prove aplicando o Teorema 3.2.1, que f ´ x 1 não existe se x 1 for inteiro. Se x 1 for inteiro, o que poderá ser dito sobre f ´ - x 1ef
35. Dada f x = x - a [ x ] . Onde a é um inteiro, mostre que f ´ a + 1 = f ´ + ( a ) .
28. Dada f x = 1 - x 2 3 / 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado - 1,1 . (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto ( - 1,1 ) e que ambas f ´ + - 1ef ´ - ( 1 ) existem. (c) Faça um
34. Dada f x = 5 - x [ x ] . Faça um esboço do gráfico de f para x e [4,6]. Ache, se existirem: (a) f ´ - 5 ; (b) f ´ + 5 ; (c) f ´ 5 .