Enunciado

Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

∫ - 2 1 x   d x

Passo 1

A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.

Passo 2

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por [ a , b ] , em que a é o limite inferior da nossa integral e b o limite superior. Desta forma, temos:

a = - 2

b = 1

Passo 3

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de dois triângulos retângulos. Um do lado do eixo X negativo e o outro do lado positivo.

Passo 4

A área de um triângulo é:

A = b ⋅ h 2

Em que b é a base e h a altura. Para o triângulo retângulo à esquerda do eixo Y, a base é o comprimento do intervalo - 2,0 , o qual é igual a 2, e a altura a interseção da função f x = | x | com a reta x = - 2 , logo,

h = - 2 = 2

Consequentemente, a sua área é:

A E = 2 ⋅ 2 2 = 2

Já o outro triângulo, possui base igual a 1 e altura também 1. Portanto,

A D = 1 ⋅ 1 2 = 1 2

Desta forma,

A = A E + A D = 2 + 1 2 = 5 2

Logo,

∫ - 2 1 x   d x = 5 2

Resposta

∫ - 2 1 x   d x = 5 2

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Calcule a integral definida ∫ - 5 - 1 0d x