Enunciado

Esboce o gráfico de y   =   x   –   a m x   –   b n para os valores indicados de m e n , supondo a   <   b (seis gráficos no total).

(a) m   =   1 ,   n   =   1 ,   2 ,   3

Passo 1

Cara, a ideia aqui é usar aquelas implicações geométricas da multiplicidade das raízes dos polinômios para esboçar essas curvas.

Uma raiz x = r de um polinômio vai ter multiplicidade m se ele for divisível por x - r m e não por x - r m + 1 , ou seja, se a gente consegue fatorar ele e um dos termos for x - r m .

A gente vê que nossas curvas já estam fatoradas. Só precisamos interpretar a multiplicidade dessas raízes e esboçar o gráfico com essas informações.

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro caso é quando a gente tem:

y = x - a 1 x - b 1 ,     a < b

Nesse caso, as duas raízes, x = a e x = b , desse polinômio tem multiplicidade 1 , ou seja, são raízes simples.

Quando isso acontece, só podemos afirmar que o gráfico não é tangente ao eixo x nesses pontos, mas cruza o eixo x neles.

Colocando essas características num gráfico, a gente fica com algo assim:

Passo 3

No segundo caso temos:

y = x - a 1 x - b 2 ,     a < b

Nesse caso, a raíz x = a tem multiplicidade 1 . Logo, nesse ponto o nosso gráfico não é tangente ao eixo x , mas cruza esse eixo.

Já a raiz x = b tem multiplicidade 2 , ou seja, uma multiplicidade par. Isso diz para gente que o gráfico vai ser tangente ao x nesse ponto, mas não vai cruzar o eixo e esse ponto não será um ponto de inflexão.

Colocando essas características num gráfico, a gente fica com algo assim:

Passo 4

No terceiro caso temos:

y = x - a 1 x - b 3 ,     a < b

Nesse caso, a raíz x = a tem multiplicidade 1 . Logo, nesse ponto o nosso gráfico não é tangente ao eixo x , mas cruza esse eixo.

Já a raiz x = b tem multiplicidade 3 , ou seja, uma multiplicidade ímpar e maior que 1 . Isso diz para gente que o gráfico vai ser tangente ao x nesse ponto, vai cruzar o eixo e esse ponto será um ponto de inflexão.

Colocando essas características num gráfico, a gente fica com algo assim:

Resposta

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

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