Enunciado

Um produtor de fertilizante constata que, se produzir x unidades de fertilizante, pode vender seu produto a p = 300 - 0,1 x dólares por unidade. O custo total de produção (em dólares) de x unidades é:

C x = 15000 + 125 x + 0,025 x 2

Se a capacidade de produção da empresa for de, no máximo, 1000 unidades de fertilizante num intervalo de tempo específicado, quantas unidades deveriam ser manufaturadas e vendidas nesse intervalo de tempo para maximizar o lucro?

Passo 1

Então galera, o que queremos achar aqui é uma expressão para o lucro do produtor de fertilizante, e como já estudamos, temos que o lucro é determinado pela seguinte expressão:

P x = R x - C x

Ou melhor:

L u c r o = R e c e i t a - C u s t o

O custo já nos foi dado, mas a receita não. No entanto, encontrar a receita é bem tranquilo, galera. Temos que a expressão da receita é:

R x = p x

Como a questão já nos fornece p , então:

R x = 300 - 0,1 x . x

R x = 300 x - 0,1 x 2

Passo 2

Agora que temos as expressões da receita e do custo do produto, temos que o lucro será:

P x = 300 x - 0,1 x 2 - 15000 + 125 x + 0,025 x 2

P x = 175 x - 15000 - 0,125 x 2

Beleza, encontramos a expressão que queríamos! No entanto, o enunciado quer a maximização do lucro, e isso só acontece quando:

P ' x = 175 - 0,25 x = 0

Disso tiramos que:

0,25 x = 175

x = 700

Então podemos concluir que 700 fertilizantes devem ser manufaturados e vendidos nesse intervalo de tempo para maximizar o lucro!

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

x = 700   u n i d a d e s

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Determine os valores extremos absolutos e onde eles ocorrem.