Enunciado

Esboce os gráficos de y = 1 x , y = - 1 x e y = f x em um sistema de coordenadas, onde f é uma função qualquer satisfazendo a desigualdade:

- 1 x ≤ f ( x ) ≤ 1 x

Para todo x no intervalo 1 ,   + ∞ . O que você pode dizer sobre o limite de f ( x ) quando x → + ∞ ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Então galera, se esboçarmos os gráficos de y = 1 x , y = - 1 x e y = f x , teremos o seguinte:

No qual a função em verde é y = 1 x e a função em azul é y = - 1 x . Aqui vale ressaltar que a função y = f x é uma função que está entre essas duas funções, ou seja, no meio delas! Ok, a primeira parte foi feita!

Passo 2

Para todo x no intervalo 1 ,   + ∞ temos que o limite de f x para x → + ∞ será:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

Mas daonde saiu esse resultado? Então galera, utilizando o conceito do Teorema do Confronto e observando com cuidado o gráfico, fica bem tranquilo notarmos que as funções estão tendendo a 0 quando na medida em que x aumenta, não é mesmo? Sendo assim, como f x é uma função que está sendo “esmagada” pelas outras duas (uma superior e outra inferior), então ela terá o mesmo comportamento que as outras! Por isso nosso resultado faz sentido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
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Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) f é definida em x = 2 ? b) f é contínua em x = 2 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) Existe f ( 1 ) ?b) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) c) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) d) f é contínua em x = 1 ?