Enunciado

Use o Teorema do Confronto para mostrar que:

lim x → 0 ⁡ x 2 . s e n   50 π x 3 = 0

E ilustre o princípio envolvido usando um recurso gráfico computacional para fazer os gráficos de y = x 2 , y = - x 2 e y = x 2 . s e n   50 π x 3 na mesma tela da janela - 0,5 ; 0,5 × - 0,25 ; 0,25 .

Passo 1

Então galera, como sabemos que as funções trigonométricas variam de - 1 até 1 , podemos escrever nosso teorema do confronto da seguinte forma:

- 1 ≤ s e n   50 π x 3 ≤ 1

Considerando que x ≠ 0 porque há um x no denominador, temos que:

- x 2 ≤ x 2 . s e n   50 π x 3 ≤ x 2

A partir disso, temos que quando x → 0 o que acontece é que x 2 → 0 da mesma forma. Sendo assim, as desigualdades implicam que:

lim x → 0 ⁡ x 2 . s e n   50 π x 3 = 0

Que é exatamente o resultado que esperávamos e que o enunciado cede!

Passo 2

Para visualizarmos se, de fato, nosso resultado está correto, vamos plotar os gráficos de y = x 2 , y = - x 2 e y = x 2 . s e n   50 π x 3 , se liga:

Por mais que esteja difícil de visualizar, temos que a função em verde (acima do eixo x ) é y = x 2 , a função em azul (abaixo do eixo x ) é y = - x 2 e, por fim, a função em laranjado é y = s e n   50 π x 3 . Pelo gráfico conseguimos notar que, de fato, o limite que encontramos está correto! E essa é a nossa análise da questão, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 63 a 68, defina fοg e determine os números nos quais fοg é contínua.68) f x = s g nx ; g x = x 2 - x
Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cad
Nos exercícios de 63 a 68, defina fοg e determine os números nos quais fοg é contínua.66) f x = x + 1 ; g x = 1 x - 3
Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cad
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?