Enunciado

Esboce as seções cônicas cujas equações de coordenadas polares são fornecidas nos Exercícios 77-80. Forneça coordenadas polares para os vértices e, no caso de elipses, para os centros também.

r = 6 1 - 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Seja F um ponto fixado (chamado foco) e l uma reta fixada (denominada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo fixado (conhecido como excentricidade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que:

P F P l = e

Ou seja, a razão da distância a F e da distância a l é a constante e é uma seção cônica.

A cônica para:

  • Elipse e < 1 ;
  • Parábola e = 1 ;
  • Hipérbole e > 1 .

A seguinte equação polar representa uma seção cônica:

Sabendo disso iremos para nosso exercício no próximo passo.

Passo 2

Do enunciado temos a seguinte Equação:

r = 6 1 - 2 cos ⁡ θ

Podemos observar que a excentricidade é e = - 2 , portanto, representa uma hipérbole. Agora, iremos transformar a equação polar em cartesiana, onde:

Reescrevendo a equação:

r - 2 r cos ⁡ θ = 6

r - 2 x = 6

r = 2 x + 6

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 = 2 x + 6 2

x 2 + y 2 = 4 x 2 + 24 x + 36

3 x 2 + 24 x - y 2 = - 36

Completando o quadrado da equação:

3 x 2 + 8 x + 16 - y 2 = - 36 + 48

3 x + 4 2 - y 2 = 12

x + 4 2 4 - y 2 12 = 1

Logo:

x + 4 = 0 → x = - 4 y = 0                                                          

Além disso, pela equação sabemos:

a 2 = 4 → a = 2

Sendo assim, o vértice em coordenadas cartesianas é V ( - 4 ± 2 ,   0 ) :

V - 6 ,   0 V - 2 ,   0

Passo 3

Agora precisamos encontrar as coordenadas polares para cada vértice, para:

  • x = - 6 ; y = 0 :
  • r 2 = x 2 + y 2

    r = - 6 2 + 0 2

    r = 6

    Logo:

    x = r cos ⁡ θ

    - 6 = 6 cos ⁡ θ

    cos ⁡ θ = - 1 → θ = π

  • x = - 2 ; y = 0 :

r = - 2 2 + 0 2

r = 2

Logo:

- 2 = 2 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 1 → θ = π

Então os vértices em coordenadas polares são V ( 2 ,   π ) e V 6 ,   π .

Passo 4

Usando o programa computacional WolframAlpha, conseguimos esboçar a seguinte curva:

Resposta

V ( 2 ,   π ) e V 6 ,   π .

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