Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = 12 i + 8 t^(3 // 2) j + 3 t^2 k 0 <= t <= 1

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = 12 t i + 8 t^((3)/(2)) j + 3 t^2 k],[0 <= t <= 1]])

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = int_0^1 sqrt(((d)/(d t) 12 t)^2 + ((d)/(d t) 8 t^((3)/(2)))^2 + ((d)/(d t) 3 t^2)^2) d t

L = int_0^1 sqrt((12)^2 + (12 t^((1)/(2)))^2 + (6 t)^2) d t = int_0^1 sqrt(144 + 144 t + 36 t^2) d t = int_0^1 sqrt((6 t + 12)^2) d t

L = int_0^1 |6 t + 12|^2 d t

Como estamos no intervalo 0 < t < 1 , 6 t + 12 > 0 , logo |6 t + 12| = 6 t + 12 :

L = int_0^1 6 t + 12 d t = [3 t^2 + 12 t]_0^1

L = 3 + 12 -> L = 15

Resposta

L = 15

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