Enunciado

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = e - t   cos ⁡ t         y = e - t sin ⁡ t           z = e - t             ( 1,0 , 1 )

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = e - t c o s ⁡ ( t ) ,     y = e - t s e n ⁡ ( t ) ,     z = e - t

No ponto:

( 1,0 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto 1,0 , 1 , ou seja, satisfz as equações em x , y e z

x = e - t c o s ⁡ ( t ) = 1 y = e - t s e n ⁡ ( t ) = 0 z = e - t = 1

Vamos resolver a terceira equação, que é a mais fácil:

e - t = 1 → - t l n e = ln ⁡ 1 → t = 0

Aplicando esse valor nas outras duas equações, vemos que t = 0 também é válido para as outras 2 equações:

x = e 0 cos ⁡ 0 = 1 ,     y =   e 0 s e n 0 = 0

Assim, t = 0 satisfaz as 2 equações.

Passo 3

Vamos agora calcular a reta tangente à equação paramétrica no ponto t = 0

x ' t = - e - t c o s t - e - t s e n ( t ) y ' t = - e - t s e n t + e - t c o s ⁡ ( t ) z ' t = - e - t

Para t = 0 :

r t = < 1,0 , 1 > + t < - 1,1 , - 1 >

r t = ( 1 - t , t , 1 - t )

Resposta

r t = ( 1 - t , t , 1 - t )

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